Selain Graph kita juga mengenal multigraph dimana multigraph adalah suatu graph yang tak mengandung edge sejajar ataupun self-loop.

Mari kita liat derajat dan keterhubungan MultiGraph.

Derajat Multigraph

• Derajat vertex V ditulis d(V) adalah banyaknya edge yang menghubungi V tersebut
• Jumlah derajat semua vertex suatu graph = 2x jumlah edge (Garis) graph

Keterhubungan Multigraph

1. Walk –> sederatan vertex dan edge berganti-gantu, V1, e1,V2,e2,………,Vn, en dimana masing-masing edge en menghubungkan vertex Vn dan Vn+1
2. Trail –> Walk dimana semua edge (didalam deretan) berbeda
3. Path –> Suatu trail yang semua vertexnya (didalam deretan) berbeda

Teori EULER

Suatu multigraph berhingga dan terhubung adalah eulerian jika dan hanya jika derajat setiap vertexnya genap.

Multigraph bisa dikatakan euler jika suatu graph yang hanya memiliki trail

Formula EULER

V – E + R = 2

Ket :

V = Vertex

E = Edge

R = Region

MAP REGION

Map adalah terhubung kalau graph yang bersangkutan terhubung.

Map Ragion adalah Map akan membagi-bagi bidang rata atas beberapa region/daerah.

Theorema : Jumlah derajat dari semua region suatu map = 2x jumlah edge graph yang bersangkutan.

Gambar 1. Graph

cara menghitung derajat vertex

Gambar 2. Region Graph

d(r1) = 2

d(r2) = 2

d(r3) = 2

d(r4) = 2

Representatif planar grap dari Graph, maka

1. Suatu region dari m, berderajat satu hanya jika batasnya self  loop.
2. Suatu region dari m dapat mempunyai serajat 2 jika batsnya mengandung 2 edge sejajar

Theorema : G adalah planar graph terhubung , dengan P(vertex), E(edge) dimana P>=3 maka q = 3p-6

Project schedule berbentuk kalender yang dihubungkan dengan pekerjaan yang harus dikerjakan
dan daftar resource yang dibutuhkan. Sebelum jadwal dibuat, WBS harus terlebih dahulu ada, jika
tidak maka jadwal tersebut akan terkesan mengada-ada.

Untuk  membuat  project  schedule,  ada  beberapa  software  yang  bisa  dijadikan  pilihan.  Pilihan
software  yang  gratis  dan  open  source  antara  lain: Open Workbench,  dotProject,  netOffice  dan
Tutos. Beberapa hal perlu diperhatikan ketika membuat project schedule, seperti:
1.  Alokasi resource pada tiap pekerjaan,
Resource  bisa  berupa  berbagai  hal  seperti  manusia,  barang,  peralatan  (komputer,
proyektor,  dll),  tempat  (ruang  rapat,  misalnya)  atau  layanan  (seperti  training  atau  tim
pendukung  out  source)  yang  dibutuhkan  dan  mungkin  ketersediaannya  terbatas.
Bagaimanapun juga resource yang utama adalah manusia.
Pertama,  project  manager  akan  mengalokasikan  orang(-orang)  tertentu  untuk  suatu
pekerjaan.  Kemudian,  selama  pekerjaan  tersebut  berlangsung,  orang  tersebut  mungkin
menjadi terlalu sibuk sehingga tidak bisa dialokasikan untuk pekerjaan lainnya. Perhatikan
bahwa  pemilihan  pelaku  perlu  disesuaikan  dengan  kemampuan  dan  berbagai  hal  lain
karena ada pekerjaan  yang dapat dilakukan oleh  siapa  saja,  tetapi umumnya pekerjaan
hanya dapat dikerjakan oleh satu atau beberapa orang saja.
2.  Identifikasikan setiap ketergantungan,
Sebuah pekerjaan disebut memiliki ketergantungan jika melibatkan aktivitas, resource atau
work  product  yang  dihasilkan  pekerjaan/aktivitas  lain.  Contoh:  test  plan  tidak  mungkin
dilaksanakan selama software belum diimplementasikan/ditulis, program baru dapat ditulis
setelah class atau modul dibuat dan dideskripsikan pada tahapan desain.
Tiap  pekerjaan  pada WBS  perlu  diberi  nomor,  dengan  angka  tersebut  bergantung  pada
nomor pekerjaan syaratnya. Berikut ini adalah sedikit gambaran tentang bagaimana suatu
pekerjaan menjadi tergantung pada pekerjaan lainnya.

Gambar 1

3.  Buat jadwalnya
Tiap  pekerjaan  juga  memiliki  jangka  waktu  pekerjaan.  Dengan  demikian  jadwal  bisa
dibuat, contoh:

Gambar 2

Tiap  pekerjaan  ditunjukkan  dengan  kotak,  sedangkan  ketergantungan  antar  pekerjaan
ditunjukkan  dengan  gambar  panah. Kotak  hitam  berbentuk wajik  antara D  dan E  (pada
gambar di atas) disebut milestone atau pekerjaan tanpa durasi. Milestone digunakan untuk
menunjukkan kejadian penting pada jadwal. Sedangkan kotak hitam panjang antara C dan
D  yang  juga  mengandung  potongan  wajik  menunjukkan  summary  task  atau  dua  sub
pekerjaan yang memiliki induk yang sama.
Jadwal bisa dibuat dalam bentuk Gantt Chart, PERT atau diagram semacamnya.
Contoh Gantt Chart yang dibuat dengan sebuah tool manajemen proyek:

Gambar 3

Risk Plan
Risk  plan  adalah  daftar  resiko/masalah  yang  mungkin  terjadi  selama  proyek  berlangsung  dan
bagaimana  menangani  terjadinya  resiko  tersebut.  Bagaimanapun  juga  ketidakpastian  adalah
musuh  semua  rencana,  termasuk  rencana  proyek.  Terkadang  ada  saja  waktu-waktu  yang  tidak
menyenangkan  bagi  proyek,  banyak  kesulitan  terjadi  misalnya  suatu  resource  tiba-tiba  tidak
tersedia. Oleh karenanya risk plan adalah persiapan terbaik menghadapi ketidakpastian.

Langkah-langkah berikut dapat menjadi acuan untuk mendapatkan Risk Plan:
1.  Pembahasan resiko potensial
Project manager akan memimpin  sebuah  sesi/rapat  untuk mengidentifikasikan masalah-
masalah yang mungkin akan muncul. Anggota  tim akan dipancing untuk mengemukakan
resiko-resiko yang  terpikirkan. Project manager akan menuliskannya di papan  tulis setiap
ada yang mengemukakan pendapat yang relevan. Sedikit pendapat mungkin akan muncul
pada  awalnya,  kemudian  berlanjut  dengan  tanggapan  yang  susul-menyusul  hingga
akhirnya suasana mendingin sampai akhirnya pendapat terakhir diutarakan.
Resiko  yang  dimaksud  di  sini  adalah  resiko  spesifik.  Jika  suatu  resiko  dirasa  belum
spesifik maka project manager akan memancing agar permasalahan disampaikan secara
lebih spesifik. Sumber masalah yang baik lainnya adah asumsi-asumsi yang muncul ketika
membuat Vision and Scope dan melakukan estimasi dengan metode Wideband Dephi.
2.  Estimasi dampat tiap resiko/masalah
Tim akan memberikan rating untuk setiap resiko. Nilainya berkisar dari 1 (masalah dengan
resiko  kecil)  hingga  5  (masalah  dengan  resiko  besar,  kemungkinan  munculnya  besar,

mungkin menghabiskan biaya besar dan sulit untuk membereskannya).
3.  Buat sebuah risk plan
Tim akan mengidentifikasi langkah-langkah yang akan di ambil untuk mengatasi masalah-
masalah yang akan muncul tersebut, dimulai dari resiko bernilai 5.

Penjadwalan Proyek
PERT  adalah  suatu  alat  manajemen  proyek  yang  digunakan  untuk  melakukan  penjadwalan,
mengatur  dan mengkoordinasi  bagian-bagian  pekerjaan  yang  ada  didalam  suatu  proyek. PERT
yang memiliki kepanjangan Program Evalution Review Technique adalah suatu metodologi yang
dikembangkan  oleh  Angkatan  Laut  Amerika  Serikat  pada  tahun  1950  untuk mengatur  program
misil.  Sedangkan  terdapat  metodologi  yang  sama  pada  waktu  bersamaan  yang  dikembangkan
oleh sektor swasta yang dinamakan CPM atau Critical Path Method.
Metodologi PERT divisualisasikan dengan suatu grafik atau bagan yang melambangkan  ilustrasi
dari sebuah proyek. Diagram jaringan ini terdiri dari beberapa titik (nodes) yang merepresentasikan
kejadian  (event)  atau  suatu  titik  tempuh  (milestone).  Titik-titik  tersebut  dihubungkan  oleh  suatu
vektor  (garis  yang memiliki arah)  yang merepresentasikan  suatu pekerjaan  (task) dalam  sebuah
proyek. Arah dari vektor atau garis menunjukan suatu urutan pekerjaan.

Gambar 4

Dari gambar 1 dapat diamati bahwa setiap arah panah akan menunjukan suatu urutan pengerjaan.
Seperti pekerjaan 1 dilakukan  terlebih dahulu  (start), kemudian bisa dilanjutkan oleh pekerjaan 2,
3, 4, setelah  itu pekerjaan 5,6. Titik 7 adalah  titik  finish dimana pekerjaan  terakhir dilakukan dan
merupakan akhir dari sebuah proyek. Selain menunjukkan suatu urutan pengerjaan diagram PERT
juga menunjukan  suatu  keterikatan antar pekerjaan yang  tidak dapat dipisahkan. Keterikatan  itu
dapat  dilihat  dengan  contoh  pekerjaan  2,  3,  4  hanya  dapat  dilakukan  jika  pekerjaan  1  sudah
selesai dilakukan.
Sebuah pekerjaan yang dapat dilakukan bersamaan dengan pekerjaan  lain disebut  juga sebagai
pekerjaan  pararel  (pararel  task  atau  concurrent  task).  Selain  itu  terdapat  juga  sebuah  aktivitas
yang diwakili oleh garis putus-putus yang disebut dengan dummy activities. Dari sebuah diagram
PERT  dapat  digunakan  untuk mengetahui  suatu  urutan  aktivitas  kritis  atau  aktivitas  yang  harus

dilakukan  sebagai  prioritas  utama  (critical  path),  penjadwalan  dengan  aktivitas  lain,  dan  jumlah
pekerja yang dibutuhkan.

KARAKTERISTIK PERT
Dari langkah-langkah penjelasan metode PERT maka bisa dilihat suatu karakteristik dasar PERT,
yaitu sebuah jalur kritis. Dengan diketahuinya jalur kritis ini maka suatu proyek dalam jangka waktu
penyelesaian yang lama dapat diminimalisasi.
Ciri-ciri jalur kritis adalah:
  Jalur yang biasanya memakan waktu terpanjang dalam suatu proses.
  Jalur yang tidak memiliki tenggang waktu antara selesainya suatu tahap kegiatan dengan
mulainya suatu tahap kegiatan berikutnya.

  Tidak adanya tenggang waktu tersebut yang merupakan sifat kritis dari jalur kritis.

KARAKTERISTIK PROYEK
  Kegiatannya  dibatasi  oleh  waktu;  sifatnya  sementara,  diketahui  kapan  mulai  dan
berakhirnya.
  Dibatasi oleh biaya.
  Dibatasi oleh kualitas.
  Biasanya tidak berulang-ulang.
MANFAAT PERT
1.  Mengetahui ketergantungan dan keterhubungan tiap pekerjaan dalam suatu proyek.
2.  Dapat mengetahui implikasi dan waktu jika terjadi keterlambatan suatu pekerjaan.
3.  Dapat mengetahui  kemungkinan untuk mencari  jalur alternatif  lain  yang  lebih baik untuk
kelancaran proyek.
4.  Dapat mengetahui kemungkinan percepatan dari salah satu atau beberapa jalur kegiatan.
5.  Dapat mengetahui batas waktu penyelesaian proyek.

Anita Megayanti Photo's

Pekerjaan yang besar agar dapat diselesaikan tepat pada waktunya memerlukan koordinasi & prosedur kerja yang baik sebagai berikut :

• Kapan proyek tersebut selesai
• Bagaimana urut-urutan pekerjaan untuk tiap-tiap bagian kapan mulainya & kapan selesainya
• Pekerjaan-pekerjaan mana sajakah yang membutuhkan waktu lama untuk selesainya proyek tersebut biasanya jalur ini disebut jalur kritis
• Pekerjaan-pekerjaan mana sajakah uang dapat ditunda dan berapa lamakah waktu maksimum penundaaan yang diijinkan
• Pekerjaan-pekerjaan manakah yang harus mendapat perhatian khusus

DIAGRAM JARINGAN

Digambarkan dengan PERT dengan menggunakan urutan dari kegiatan masing-masing pekerjaan dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut.

Contoh :

GAMBAR 1.1

Ket :

• Panah (arrow) digunakan untuk mewakili suatu kegiatan (activity)
• Simpul (node) digunakan untuk mewakili suatu kejadian (event)

ATURAN DIAGRAM JARINGAN

1)           Setiap kegiatan hanya dapat diwakili oleh satu dan hanya satu panah dijaringan (tidak ada sebuah kegiatan yang diwakili dua kali di jaringan / tidak ada kegiatan kembar)

GAMBAR 1.2

2)           Tidak ada dua kegiatan yang ditujukan oleh ekor kejadian & kepala kejadian yang sama

GAMBAR 1.3

Dari kasus diatas maka penggambaran yang benar adalah dengan menggunakan kegiatan dummy (dummy Activity) adalah suatu kegiatan yang tidak membutuhkan waktu.

GAMBAR 1.4

JALUR KRITIS

Adalah jalur yang menunjukan kegiatan kritis dari awal kegiatan sampai dengan akhir kegiatan di diagaram jariangn. Digunakan untuk menghitung waktu penyelesaian dari suatu proyek. Waktu penyelesaian dapat dihitung dari masing-masing jalur (path) dari kegiatan-kegiatan di jaringan.

ALGORITMA UNTUK JALUR KRITIS

Algoritma untuk menentukan jalur kritis dilakukan dengan menghitung waktu mulai tercepat (earliest start time/ES) dan waktu selesai terlama (latest finish time/LF) untuk masing-masing kegiatan.

GAMBAR 1.5

Contoh gambar pada halaman berikut :

Untuk Menghitung Waktu :

Kegiatan 2

ES2 : ES1 + A = 0 + 10 = 10

Kegiatan 3

ES3 : ES1 + A = 0 + 8 = 8

Kegiatan 4

ES4 : ES2 + C = 10 + 2 = 12

ES4 : ES3 + D = 8 + 5 = 13

Jadi waktu tercepat untuk kegiatan di ES4 = 13

Kegiatan 4

LF 4= 13

Kegiatan 3

LF3 = LF4 – D = 13 – 5 = 8

Kegiatan 2

LF2 = LF4 – C = 13 – 2 = 11

GAMBAR 1.6